images (8).jpgimages (2).jpgimages (5).jpgimages (4).jpgimages (1).jpgimages (3).jpgimages (9).jpgimages (7).jpgimages (6).jpgΑντίγραφο από find the word1.jpg

Αύξουσα και φθίνουσα συνάρτηση

Πολλές φορές στα μαθηματικά συναντούμε το εξής ζήτημα: να διαβάζουμε κάτι το οποίο ζητείται και να το θεωρούμε προφανές. Πως δηλαδή να λύσω κάτι το οποίο η λογική μου λέει ότι ισχύει. Για παράδειγμα στα πρώτα μαθήματα λογισμού μαθαίνεις πως να αποδεικνύεις ότι α+β= β+α. Προφανές θα σκεφτείτε που όμως έχει απόδειξη που ξεφεύγει απο τα ζητούμενα μας εδώ. Ας δούμε λοιπόν μια άσκηση τέτοια στην κατεύθυνση...


Ζητούμενο:

 

Nα αποδείξετε ότι αν μια συνάρτηση f είναι γνωσίως αύξουσα και μια συνάρτηση g είναι γνησίως φθίνουσα τότε οι γραφικές τους παραστάσεις θα έχουν το πολύ ένα κοινό σημείο.

Απόδειξη:

Έστω λοιπόν αυτές οι δύο συναρτήσεις οι οποίες μου λέει. Σε μία πρώτη ανάγνωση ακούγεται προφανές. Εφόσον η μία "πέφτει" συνεχώς και η άλλη "ανεβαίνει" συνεχώς μόνο μία φορά θα συναντηθούν. Αλλά η επίκληση του προφανούς δεν θεωρείται απόδειξη ούτε και θα βαθμολογηθεί. Οπότε , ξεκινάμε σημειώνοντας ότι δεν μου είπε πεδία ορισμού οπότε εννοείτε το σύνολο των πραγματικών αριθμών και δεν υπάρχουν ασυνέχειες. Ορίζω μια νέα συνάρτηση h(x) που θα είναι η διαφορά των δύο πρώτων συναρτήσεων. Άρα h(x)=f(x)-g(x).

 

Εφόσον η  f(x) είναι γνησίως αύξουσα αναγκαστικά θα έχουμε f΄(x)>0 σε όλο το πεδίο μου. Αντίστοιχα για την g(x) λόγω μονοτονίας θα είναι g΄(x)<o σε όλο το πεδίο ορισμού της. 

 

Θα μελετήσω τώρα το πρόσημο της h(x). Και θα έχω: 

h΄(χ)=[f(x)-g(x)]΄=f΄(x)-g΄(x)>0 γιατί απο θετικό αριθμό θα αφαιρέσω έναν αρνητικό. Άρα η h(x) είναι γνήσίως αύξουσα που σημαίνει ότι μόνο σε ένα σημείο θα κόβει τον άξονα των χ. Δηλαδή υπάρχει μοναδικό χ1 ας πούμε, ούτως ώστε h(x1)=0 ή f(x1)-g(x1)=0 που θα μου δώσει ότι f(x1)=g(x1) που ήταν και το ζητούμενο.

 

Τέλος θα μπορούσαμε να ορίσουμε και ανάποδα την h(x) ώστε να έβαζα πρώτη την g(x) και τότε θα είχα φθίνουσα συνάρτηση με τα ίδια αποτελέσματα όμως. Μονο το ότι ήταν μονότονη με βοήθησε και όχι το είδος της μονοτονίας.


 

Σχόλια   

 
0 #2 Mymathimatikos.com 20-09-2015 08:41
Παραθέτοντας Ντινα:
Η f(x)=x^3 θεωρείται αύξουσα η γνησίως αύξουσα; Η πρωτη παράγωγος μηδενίζεται με διπλη ρίζα και ισχυει οτι y'>=0. Εκ πρωτης όψεως είναι αυξουσα αλλά απο την άλλη αν χ1

Είναι απλώς αύξουσα. Η άσκηση παραπάνω αναφέρεται σε γνωσίως αύξουσα. Το σχόλιο σου δυστυχώς ήρθε μισό και δεν είναι κατανοητό αυτό που προσπαθείς να πείς.
Παράθεση
 
 
0 #1 Ντινα 20-09-2015 07:55
Η f(x)=x^3 θεωρείται αύξουσα η γνησίως αύξουσα; Η πρωτη παράγωγος μηδενίζεται με διπλη ρίζα και ισχυει οτι y'>=0. Εκ πρωτης όψεως είναι αυξουσα αλλά απο την άλλη αν χ1
Παράθεση
 

Προσθήκη νέου σχολίου

Κωδικός ασφαλείας
Ανανέωση