Αύξουσα και φθίνουσα συνάρτηση

Πολλές φορές στα μαθηματικά συναντούμε το εξής ζήτημα: να διαβάζουμε κάτι το οποίο ζητείται και να το θεωρούμε προφανές. Πως δηλαδή να λύσω κάτι το οποίο η λογική μου λέει ότι ισχύει. Για παράδειγμα στα πρώτα μαθήματα λογισμού μαθαίνεις πως να αποδεικνύεις ότι α+β= β+α. Προφανές θα σκεφτείτε που όμως έχει απόδειξη που ξεφεύγει απο τα ζητούμενα μας εδώ. Ας δούμε λοιπόν μια άσκηση τέτοια στην κατεύθυνση...

Ζητούμενο:

Nα αποδείξετε ότι αν μια συνάρτηση f είναι γνωσίως αύξουσα και μια συνάρτηση g είναι γνησίως φθίνουσα τότε οι γραφικές τους παραστάσεις θα έχουν το πολύ ένα κοινό σημείο.

Απόδειξη:

Έστω λοιπόν αυτές οι δύο συναρτήσεις οι οποίες μου λέει. Σε μία πρώτη ανάγνωση ακούγεται προφανές. Εφόσον η μία "πέφτει" συνεχώς και η άλλη "ανεβαίνει" συνεχώς μόνο μία φορά θα συναντηθούν. Αλλά η επίκληση του προφανούς δεν θεωρείται απόδειξη ούτε και θα βαθμολογηθεί. Οπότε , ξεκινάμε σημειώνοντας ότι δεν μου είπε πεδία ορισμού οπότε εννοείτε το σύνολο των πραγματικών αριθμών και δεν υπάρχουν ασυνέχειες. Ορίζω μια νέα συνάρτηση h(x) που θα είναι η διαφορά των δύο πρώτων συναρτήσεων. Άρα h(x)=f(x)-g(x).

Εφόσον η  f(x) είναι γνησίως αύξουσα αναγκαστικά θα έχουμε f΄(x)>0 σε όλο το πεδίο μου. Αντίστοιχα για την g(x) λόγω μονοτονίας θα είναι g΄(x)<o σε όλο το πεδίο ορισμού της. 

Θα μελετήσω τώρα το πρόσημο της h(x). Και θα έχω: 

h΄(χ)=[f(x)-g(x)]΄=f΄(x)-g΄(x)>0 γιατί απο θετικό αριθμό θα αφαιρέσω έναν αρνητικό. Άρα η h(x) είναι γνήσίως αύξουσα που σημαίνει ότι μόνο σε ένα σημείο θα κόβει τον άξονα των χ. Δηλαδή υπάρχει μοναδικό χ₁ ας πούμε, ούτως ώστε h(x₁)=0 ή f(x₁)-g(x₁)=0 που θα μου δώσει ότι f(x₁)=g(x₁) που ήταν και το ζητούμενο.

Τέλος θα μπορούσαμε να ορίσουμε και ανάποδα την h(x) ώστε να έβαζα πρώτη την g(x) και τότε θα είχα φθίνουσα συνάρτηση με τα ίδια αποτελέσματα όμως. Μονο το ότι ήταν μονότονη με βοήθησε και όχι το είδος της μονοτονίας.